本日は、先日体験授業で取り上げた中２数学の文字と式の利用の問題を扱いたいと思います。
小４年で習う、5432＝1000×5＋100×4＋10×3＋1×2
という知識がベースになります。
たとえば、７３という数は、10✖７＋1✖３ と表せます。
その十の位の数と一の位の数を入れ替えた３７という数は、10✖３＋1✖７ と表せます。
この３と７という数字の代わりに、ｍやｎなどの文字を使うというだけです。
７がｍで、３がｎだとすると、それぞれ、
10×ｍ＋１×ｎ ➡ 10ｍ＋ｎ
10×ｎ＋１×ｍ ➡ 10ｎ＋ｍ
と表せますね。
数字で出来ることは文字でも出来ます。
文字は数字の単なる代わりです。
そして、式の証明の手順
① 使う文字を宣言する
② 文字を使って、その数を表す。
③ 問題文から表現を引用し、それを数式で表す。
③ 式変形をして、結論と同じ形にする。
④（ ）でくくった部分が「整数」であることを宣言する。
⑤ 問題文から結論を引用する。
※使う文字の数は、「連続する整数」なら文字は1個、「連続した整数でない」なら文字は複数個になります。
さらに、
「〇倍になることを証明しろ」
➡ 〇でくくる。（ ）の中が整数であることを宣言する。
例．「11の倍数」➡ 11(4n＋1)
「4n＋1 は整数なので、・・・結論」
という流れでした。
それでは、教科書問題から見ていきましょう。
教科書の典型例題①
「２桁の自然数と、その十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は９の倍数になる。このことを式を使って説明しなさい。」
（説明例）
ｍ , ｎ を一桁の自然数とすると、【 ☜ 使う文字を宣言する】
２桁の自然数は、10ｍ＋ｎ 、十の位の数と一の位の数を入れかえた数字は、10ｎ＋ｍ と表せる。【 ☜ 文字を使って数字を表現する】
その差は、【 ☜ 問題文から引用 & 式変形】
（10ｍ＋ｎ）－（10ｎ＋ｍ）
＝10ｍ＋ｎ－10ｎ－ｍ
＝9ｍ－9ｎ
＝9(ｍ－ｎ)
ｍ－ｎは整数だから、【 ☜ （ ）でくくった部分が整数[自然数]であることを宣言】
9(ｍ－ｎ) は９の倍数になる。
したがって、２桁の自然数と、その十の位の数と一の位の数を入れかえた数の差は９の倍数になる。【 ☜ 結論も問題文から引用】
教科書の典型例題②
「３ケタの正の整数Ａがあり、Ａの一の位の数と百の位の数を入れ替えてできる３ケタの自然数をＢとする。このとき、Ａ－Ｂは 99 の倍数となる。そのわけを、文字を使って説明しなさい。」
（説明例）
Ａの百の位の数を a , 十の位の数を b , 一の位の数を c とすると、【 ☜ 使う文字を宣言】
Ａ＝100a＋10b＋c , Ｂ＝100c＋10b＋a と表される。【 ☜ 文字を使って数字を表現】
Ａ－Ｂ＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)
＝99a－99c
＝99(a－c)
a－c は整数だから、【 ☜ （ ）でくくった部分が整数[自然数]であることを宣言】
99(a－c) は 99 の倍数である。
したがって、Ａ－Ｂは整数になる。【 ☜ 結論も問題文から引用】
ここからが本題です。（え！？）
普通、３桁の自然数ならば、文字を３個使いますね。
100a＋10b＋c みたいな感じで。
しかし、743 ➡ 437 や、8753 ➡ 7538 のように、１個の数字だけをスライドして違う数字を作るパターンがあります。
この場合、文字を２個使うだけで両方表現できます。
つまり、
７をＡ , 43をＢとすると、
743＝700＋43＝7✖100＋43＝100A＋B
437＝430＋7＝43✖10＋7＝10B＋A
とそれぞれ表現できます。
8753 , 7538 ならば、８＝Ａ , 753＝Ｂ とすると、
1000A＋Ｂ , 10B＋A となりますね。
ポイントは、数字をカタマリで捉えることです。
これは知らないと対応できないので、覚えておいてください。
それでは、北辰の問題を見ていきましょう。
このタイプの問題は、文章が長いので、最初から読み取ることをあきらめてしまう生徒が多いですね。(^_^;
しかし、予めパターンを知っておけば対応は可能です。
解答
H30④にも同じパターンの問題が出ました。
知らなければキツイと思います。
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