勝手に北辰テスト対策　数学（平方根③）

またまた、やってきました（笑）。

頼まれてもいないのに、勝手に北辰テストの解説をしていくシリーズ（笑）。

今回は、北辰テスト平方根の３回目です。前回☟

ちなみに、平方根の解説は、合計４回行う予定です。

それではさっそく見ていきましょう。

では、さっそく問題から見ていきましょう。

まあ、これはド定番の問題です。ほぼ毎年出てますね。

ですが、意外と苦手にしている生徒が多いので、取り上げてみました。

一度理解してしまえば、簡単なんですけどね。(^^♪

例によって、私が作っている問題集とは配置を変えてあります。

それでは、解説していきます。

H23③

「√100＋ｎ が自然数になる」とは、ルートが完全にはずれるときのことです。
つまり、ルートの中が平方数になるときでしたね。

（平方数とは、0 , 1, 4 , 9 , 16 , 25  , 36 … のように「整数の２乗で表せる数」でした）

苦手にしている生徒も多いですが、

実は、この知識だけでこの問題は解けてしまいます。

どういうことかと言うと、

ルートの中が、100＋ｎ（ｎは自然数）なわけですから、

100より大きい平方数を順に考えていけばよい

ということです。

具体的には、

11²＝121 , 12²＝144 , 13²＝169 …　と続いていくわけですが、

問題文で、「最小の自然数ｎ」と書いてあるので、
100＋ｎ が、121 になるときの ｎ の値が答えとなります。

つまり、100＋ｎ＝121　より、ｎ＝21

答え　ｎ＝21

（この問題は、暗算で求めることが出来ますが、この「方程式をたてて未知の値を求める」という発想にも慣れて下さい）

H29③

考え方は上の問題と全く同じです。

ルートの中が、19＋2ｎ（ｎは自然数）なわけですから、

19 より大きくて、より19 に近い平方数を順に考えていけばよい

ということです。

まず、25 が思い浮かびますね。

19＋2ｎが 25 のとき、

つまり、19＋2ｎ＝25　より、2ｎ＝６　➡　ｎ＝３

答え　ｎ＝３

あっさり答えが出てしまいました。(^^;

問題には「ｎは自然数」という条件が付いていますから、上の方程式を解いたときに、ｎが分数や負の数などになってしまったら、解として不適格なので除外して、次の平方数を考えていくのが一般的です。

（まあ、わざと解きやすい問題から並べてるのですが、理解してしまうと簡単でしょう？）

H26⑥

ルートの中が、23ー2ｎ  と引き算になっています。（ｎは自然数）

ということは、

23 より小さくて０より大きい平方数を考えればよい

（「より」という言葉はその数を含みませんので、０は入りません）

と気付いたでしょうか？

ちなみに、

√23ー2ｎ　が自然数になる訳ですから、ルートの中は０にはなりません。

23ー2ｎ が、16 , 9 , 4 , 1  になる場合をそれぞれ考えていけば良いわけです。

23ー2ｎ＝16 のとき、2ｎ＝７　➡　ｎ＝3.5（ｎは自然数なので不適）

23ー2ｎ＝９ のとき、2ｎ＝14　➡　ｎ＝７（これが１つ目の答え）

23ー2ｎ＝４ のとき、2ｎ＝19　➡　ｎ＝9.5（ｎは自然数なので不適）

23ー2ｎ＝１ のとき、2ｎ＝22　➡　ｎ＝11（これが２つ目の答え）

親切にも、問題文に「ｎは２つある」と書いてありますから、間違いないですね。(^^)

最後に、７と11 を足すのを忘れないようにしましょう。

答え　１８

H24②

ルートの中が、40ー4ｎ（ｎは自然数）となっています。

このままでも解けるのですが、

「出せるものは出す」というのが平方根の問題を解く上でのカギとなります。

具体的には、４をくくり出して根号の外に出します。

√40ー4ｎ ＝ √４(10ーｎ) ＝ ２√10ーｎ　として、

ルートの中を、10ーｎ　にします。

２は、もう既に整数として外に出たわけですから、

あとは、10ーｎ が平方数になる場合を考えれば良いだけです。

「自然数になる」という条件があるので、10 より小さくて０より大きい平方数（０は含まない）、

つまり、10ーｎ が、９，４，１になる場合をそれぞれ考えれば良いわけです。

10ーｎ＝９　のとき、ｎ＝１（これが１つ目の答え）

10ーｎ＝４　のとき、ｎ＝６（これが２つ目の答え）

10ーｎ＝１　のとき、ｎ＝９（これが３つ目の答え）

最後に、これらを足して、１＋６＋９＝１６

答え　１６

別解

先程、「このままでも解ける」と書きました。

40ー4ｎ　のまま、強引に答えを出すことも出来ます。

見ればわかる通り、

40 より小さい自然数の平方数を考えれば良いわけです。

（ちなみに、０は自然数ではありません）

40ー4ｎ＝36　のとき、4ｎ＝4　➡　ｎ＝１（これが１つ目の答え）

40ー4ｎ＝25　のとき、4ｎ＝15　➡　ｎ＝3.75（ｎは自然数なので不適）

40ー4ｎ＝16　のとき、4ｎ＝24　➡　ｎ＝６（これが２つ目の答え）

40ー4ｎ＝９　のとき、4ｎ＝31　➡　ｎ＝7.75（ｎは自然数なので不適）

40ー4ｎ＝４　のとき、4ｎ＝36　➡　ｎ＝９（これが３つ目の答え）

40ー4ｎ＝１　のとき、4ｎ＝39　➡　ｎ＝9.75（ｎは自然数なので不適）

（「自然数になる」場合なので、40ー4ｎ が、０になる場合は考えなくて良いのでした。

逆に言うと、「整数になる」場合なら、０になる場合も考えなくてはいけません）

よって、求める和は、１＋６＋９＝１６

答え　１６

（しかし、この解き方はあまりお勧めしません。平方根は「出せるものは出す」という発想で攻めましょう）

H25④

√600ー12ｎ  が「整数になる」ような自然数ｎをすべて

と、書いてあります。

今までは何となくルートの中が０にならないパターンが続いていました。

しかし、０も平方数だということは忘れてはいけません。

それでは、解いていきます。

まず、出せるものものは出します。

√600ー12ｎ ＝ √12(50ーｎ) ＝ ２√３(50ーｎ)　となります。

２は既に整数となって外に出ているわけですから、

ルートの中の、３(50ーｎ)  が平方数になれば良いわけです。

ここで、少しややこしいことを言いますよ？

３(50ーｎ)  がカタマリで１つの数になると考えて下さい。

３×🔲  が、平方数になるということは、

🔲 には３のペア相手として、３が含まれていないといけませんよね？

実はここで、平方根の第２回で使った解き方を利用します。

この場合、🔲 とは、50ーｎのことですから、

50ーｎ＝３×平方数　が成り立つということです。

（ちょっと難しいですね。150ー3ｎ のまま、強引に解いてしまってもOKです。しかし、この考え方は埼玉県でも出題されています）

50ーｎ＝３×０²　のとき、ｎ＝50（これが１つ目の答え）

50ーｎ＝３×１²　のとき、ｎ＝47（これが２つ目の答え）

50ーｎ＝３×２²　のとき、ｎ＝38（これが３つ目の答え）

50ーｎ＝３×３²　のとき、ｎ＝23（これが４つ目の答え）

50ーｎ＝３×４²　のとき、ｎ＝２（これが５つ目の答え）

50ーｎ＝３×５²　のとき、ｎ＝－25（ｎは自然数なので不適）

これ以降は、ｎがすべてマイナスになってしまいます。

よって、50＋47＋38＋23＋2＝160

答え　160

（この問題の正答率は15％未満と書いてありますが、実際には３％以下だと思います。北辰は、平成27年度以降にようやく正確な数字を出すようになりました）

別解

途中まで同じで、150未満の平方数を考えていきます。

150ー3ｎ＝144　のとき、ｎ＝２（これが１つ目の答え）

150ー3ｎ＝121　のとき、ｎ＝9.666…（不適）

150ー3ｎ＝100　のとき、ｎ＝16.666…（不適）

150ー3ｎ＝81　のとき、ｎ＝23（これが２つ目の答え）

150ー3ｎ＝64　のとき、ｎ＝28.666…（不適）

150ー3ｎ＝49　のとき、ｎ＝33.666…（不適）

150ー3ｎ＝36　のとき、ｎ＝38（これが３つ目の答え）

150ー3ｎ＝25　のとき、ｎ＝41.666…（不適）

150ー3ｎ＝16　のとき、ｎ＝44.666…（不適）

150ー3ｎ＝９　のとき、ｎ＝47（これが４つ目の答え）

150ー3ｎ＝４　のとき、ｎ＝48.666…（不適）

150ー3ｎ＝１　のとき、ｎ＝49.666…（不適）

150ー3ｎ＝０　のとき、ｎ＝50（これが５つ目の答え）☚みんなこれ忘れたよね

よって、50＋47＋38＋23＋2＝160

答え　160

やはり、ちゃんとした解き方をマスターすべきですね。^_^;

入試は時間との勝負ですから、時間が足りなくなって、とれる問題まで落としてしまうことになりかねません。

最初の解法も、慣れればマスター出来るので、そんなにビビらないで下さい。

H30⑤

22－３a　が、22 よりも小さい平方数になれば良いので、

22－３a＝16　➡　a＝２（これが最小の a ですね）

※勘違いしやすいのは、最小なのは a の値であって、ルートがはずれるときの平方数ではないということです。

答え　a＝２

H19②

√200－ｎ　のルートがはずれたときに「一の位が３である整数」となる

ということは、

200未満の整数で、一の位が３である数の２乗を考えれば良い

ということです。

具体的には、３²＝９，13²＝169　の２つです。

200－ｎ＝９　のとき、ｎ＝191（これが１つ目の答え）

200－ｎ＝169　のとき、ｎ＝31（これが２つ目の答え）

答え　31 , 191

どうだったでしょうか？

途中で少しややこしくなりましたが、

大切なのは、何度も練習して、マスターしようという姿勢です。

その際には、プロセスを意識して、自分で自分に授業をするように勉強してみて下さい。

長かった…(^^;